對偶 (數學)

在數學領域中，對偶一般來說是以一對一的方式，常常（但並不總是）通過某個對合算子，把一種概念、公理或數學結構轉化為另一種概念、公理或數學結構：如果A的對偶是B，那麼B的對偶是A。由於對合有時候會存在不動點，因此A的對偶有時候會是A自身。比如射影幾何中的笛沙格定理，即是在這一意義下的自對偶。

對偶在數學背景當中具有很多種意義，而且，儘管它是「現代數學中極為普遍且重要的概念（a very pervasive and important concept in (modern) mathematics）」^[1]並且是「在數學幾乎每一個分支中都會出現的重要的一般性主題（an important general theme that has manifestations in almost every area of mathematics）」^[2]，但仍然沒有一個能把對偶的所有概念統一起來的普適定義。^[2]

在兩類對象之間的對偶很多都和配對（pairing），也就是把一類對象和另一類對象映射到某一族標量上的雙線性函數相對應。例如，線性代數的對偶對應着把線性空間中的向量對雙線性映射到標量上，廣義函數及其相關的試驗函數也對應着一個配對且在該配對中可用試驗函數來對廣義函數進行積分，龐加萊對偶從給定流形的子流形之間的配對的角度看同樣也對應着交數。^[3]

序逆對偶

一種特別簡單的對偶形式來自於序理論。偏序關係P = (X, ≤)的對偶是由同一偏序集組成但關係相反的偏序關係P^d。我們比較熟悉的對偶偏序的例子有：

• 任何集合簇上的子集和超集關係${\displaystyle \subset }$和${\displaystyle \supset }$；

• 整數上的因數和倍數關係；

• 人類集合上的後代和祖先關係。

為某一偏序P定義的概念會對應到對偶偏序集P^d的對偶概念上。例如，P的極小元對應於P^d的極大元：極小和極大是序理論中的對偶概念。序理論中的其他對偶概念還包括上界和下界、上閉集合和下閉集合、理想和濾子。

一種特殊的序逆對偶存在於某個集合S的冪集合中：若${\displaystyle {\bar {A}}=S\setminus A}$表示補集，則${\displaystyle A\subset B}$當且僅當${\displaystyle {\bar {B}}\subset {\bar {A}}}$。在拓撲學中，開集和閉集是對偶概念：開集的補是閉的，反之亦然。在擬陣論中，某個給定擬陣的獨立集合的補集簇形成另一個擬陣，稱作對偶擬陣。在邏輯中，我們可以把非量化公式中變量的成真賦值表示為對該賦值為真的變量集合。成真賦值滿足該公式當且僅當該成真賦值的補滿足該公式的德摩根定律。邏輯中的全稱量詞和存在量詞也是類似的對偶。

偏序可以解釋為範疇，在該範疇中存在從x到y的arrow當且僅當偏序中有x ≤ y。偏序的序逆對偶可擴展為對偶範疇的概念，即由給定範疇中所有arrow的逆所組成的範疇。後面將要描述的很多具體的對偶都是在此意義下的範疇的對偶。

維逆對偶

The features of the cube and its dual octahedron correspond one-for-one with dimensions reversed.

存在着很多種不同但互相聯繫的在同一類幾何或拓撲對象之間的對偶，不過具有對偶關係的對象在特徵維數上是相反的。這方面的經典例子是正多面體的對偶，其中立方體和正八面體形成了一個對偶配對，正十二面體和正二十面體形成了另一個對偶配對，而正四面體是自對偶的。任何一種這類多面體的對偶多面體可作為主要多面體每一面中心點的凸包。

相關條目

• 倒易點陣
• 伴隨函子

注釋

1. Kostrikin 2001 harvnb error: no target: CITEREFKostrikin2001 (help)
2. Gowers 2008，p. 187, col. 1
3. Gowers 2008，p. 189, col. 2

參考資料

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